11.
< - używam tego jako znaku należenia do

Możemy te warunki rozpisać następująco:
(x<A) => (x<B)
(x<A) i (x<B) <=> (x<A)
(x<A) lub (x<B) <=> (x<B)
należy pokazać, że są sobie równoważne.
Zastąpię sobie zdania podrzędne zmiennymi:
p :  x<A
q :  x<B,
mamy więc:
1) p=>q
2) (p i q )<=> p
3) (p lub q) <=> q


widać od razu, że z
p=>q  wynika, że p=>(p i q),
a (p i q) => p to tautologia.
więc z p=>q wynika, że (p i q)<=>p
Trzeba pokazać jeszcze, że zależność zachodzi w drugą stronę.
Więc:
(p i q)<=>p  =>  p=>(p i q)   =>   p=>q

Z trzecim zdaniem porównam analogicznie zdanie pierwsze:
p=>q   =>   (p lub q)=>p
q=>(p lub q) to tautologia
W drugą stronę:
(p lub q) <=> q    =>   (p lub q) => q     =>    (p=>q) i (q=>q)    =>   p=>q

Trzeciego z drugim nie trzeba oczywiście porównywać, bo jeśli są oba tożsame z pierwszym, to i ze sobą. Można to było zrobić też rozpisując tabelki, jak na pierwszych zajęciach, albo rozpisując równoważność na dwie implikacje i dowodząc niewprost.




12.

u - znak sumy
To, że AuB zawiera zbiory A i B jest oczywiste, trzeba pokazać, że jest najmniejszym takim zbiorem. Czyli, że jeśli z tego zbioru wywali się jakiś element, to zawierać zbiorów A i B już nie będzie.
Zbiór AuB pomniejszony o n elementów będzie wyglądał AuB \ {x1,x2,..,n}, gdzie xi (i to indeks) należy do A lub B (w koncu pomniejszamy AuB). Taki zbiór na pewno nie zawiera zbiorów A i B, bo na pewno nie zawiera xi, który należy do A lub B.

Jeśli coś jest niezrozumiałe to postaram się wyjaśnić lepiej. W sumie mogę też zrobić jakieś zadania na życzenie, bo i tak będę je prędzej czy później robił.

Ostatnio edytowany przez wieslawski (2009-01-01 21:50:50)